考研真经总纲_数学篇资料汇总

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2 考研数学复习全书（数学一）

3 考研真题(这部分后面会分别记录在详细进度表中)

数学一考研大纲

高等数学

一、函数极限连续

理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
了解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性。
理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
理解极限的概念，理解函数左右极限的概念以及函数极限存在与左右极限之间的关系。
掌握极限的性质及四则运算法则。
掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小两的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型。
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

二、一元函数微分学

理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程与法线方程，了解导数的物理意义，会用到导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数及反函数的导数。
理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。
掌握用罗必达法则求未定式极限的方法。
理解函数极值的概念，掌握用导数判别函数的单调性及求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及应用。
会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图像的拐点，会求曲线的水平渐近线、铅直渐近线及斜渐近线，会描绘函数的草图。
了解曲率、曲率半径及曲率圆的概念，会计算曲率与曲率半径。

三、一元函数积分学

理解原函数的概念，理解不定积分与定积分的概念。
掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的基本性质及定积分的积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法。
会求有理函数、三角有理函数及简单无理函数的积分。
理解积分上限函数，会求其导数，掌握牛顿—莱布尼兹公式。
了解反常积分的概念，会计算反常积分。
掌握用定积分表达和计算一些几何量（面积、体积、弧长）及物理量（力和功）及函数的平均值。

四、向量代数与空间解析几何

理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示。
掌握向量的运算，了解两个向量平行及垂直的条件。
理解单位向量、方向导数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
掌握平面方程与直线方程及求法。
会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，会利用平面、直线的位置关系解决相关问题。
会求点到直线及点到平面的距离。
了解曲面与空间曲线方程的概念。
了解常见二次曲面的方程及图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。
了解空间曲线的参数方程及一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求该投影曲线的方程。

五、多元函数微分学

理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续函数的性质。
理解多元函数的偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
理解方向导数与梯度的概念，掌握其计算方法。
掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求法。
了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的概念，会求其方程。
了解二元函数的二阶泰勒公式。
理解多元函数的极值与条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值与最小值，会解决一些简单的应用问题。

六、多元函数积分学

理解二重积分与三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的积分中值定理。
掌握二重积分的计算方法（直角坐标法与极坐标法），会计算三重积分（直角坐标法、柱面坐标法和球面坐标法）。
理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分之间的关系。
掌握计算两类曲线积分的方法。
掌握格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。
了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分之间的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握高斯公式计算曲面积分的方法，会用斯托克斯公式计算三维空间曲线积分。
了解散度与旋度的概念，会计算。
会用重积分、曲线积分与曲面积分求一些几何量和物理量。

七、无穷级数

理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
掌握几何级数与p级数收敛与发散的条件。
掌握正项级数收敛性的比较判别法及比值判别法，会用根值判别法。
掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及绝对收敛与条件收敛的关系。
了解函数项级数收敛域及和函数的概念。
理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径、收敛区间和收敛域的求法。
了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数连续性、逐项可导性与逐项可积性），会求一些幂级数的收敛区间内的和函数，会求某些常数项级数的和。
了解函数展开成泰勒级数的充要条件。
掌握x e，sinx，cosx，ln(1+x)及(1+x)^a的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．
了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-l,l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式．
八、常微分方程
了解微分方程及阶、解、通解、初始条件、特解的概念。
掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法。
会解齐次微分方程、贝努力方程及全微分方程，会用简单的变量代换求一些微分方程。
会用降阶法解如下三种形式的微分方程： $图片$
理解线性微分方程解的性质与解的结构。
掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与积的二阶常系数非齐线性微分方程。
会解欧拉方程。
会用微分方程解决一些简单的实际问题。

线性代数

一、行列式

了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
会用行列式的性质和行列式按行（列）展开计算行列式。

二、矩阵

理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵和反对称矩阵及其性质。
掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵行列式的性质。
理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
了解分块矩阵及运算。

三、向量

理解维向量，向量的线性组合与线性表示的概念。
理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
理解向量组的极大线性无关组及向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组秩之间的关系。
了解维向量空间，子空间，基，维数及坐标的概念。
了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。
了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的方法。
了解规范正交基，正交矩阵的概念与性质。

四、线性方程组

会用克莱姆法则。
理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐线性方程组有解的充分必要条件。
理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。
理解非齐线性方程组解的结构和通解的概念。
掌握初等行变换求解线性方程组的方法。

五、矩阵的特征值与特征向量

理解矩阵的特征值与特征向量的概念与性质，会求矩阵的特征值与特征向量。
理解相似矩阵的概念、性质和矩阵相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。
掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

六、二次型

掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换和矩阵合同的概念，了解二次型的标准型，规范型及惯性定理。
掌握正交变换法化二次型为标准型的方法，会用配方法化二次型为标准型。
理解正定二次型及正定矩阵的概念，掌握判断正定的方法。

概率统计

一、随机事件与概率

了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系及运算。
理解概念及条件概率的概念，掌握概率的基本性质，掌握概率的减法公式、加法公式、条件概率公式、乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式，会计算古典概型和几何概型。
理解事件独立的概念，掌握独立事件的概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握相关概率计算的方法。

二、随机变量及分布

理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算随机变量相关的事件的概率。
理解离散型随机变量及概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布及应用。
了解泊松定理的条件和结论，会用泊松分布近似表示二项分布。
理解连续型随机变量及概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用。
会求随机变量函数的分布。

三、多维随机变量及分布

理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量分布的概念与性质，理解二维离散型随机变量的分布律、边缘分布及条件分布，理解二维连续型随机变量的联合密度函数，边缘密度及条件密度，会求二维随机变量相关的概率。
理解随机变量独立及不相关的概念，掌握随机变量独立的条件。
掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度，理解参数的概率意义。
会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个独立随机变量函数的分布。